设向量组S⊆T．证明：S为T的一个极大无关组当且仅当任意一个β∈T都可以惟一地表示为S中向量的线性组合．

设向量组S⊆T．证明：S为T的一个极大无关组当且仅当任意一个β∈T都可以惟一地表示为S中向量的线性组合．
【正确答案】：[证明]⇒因为，S为丁的一个极大无关组． 所以，任意一个β∈T，都可以表示为S中向量的线性组合．而且由S 为线性无关组知道．这种表示式是惟一的 ⇐如果S={α₁，α₂，…，α_r)是线性相关组．则存在不全为D的数 L₁，L₂，…，L使L₁α₁+L₂α₂+…+L_rα_r=0． 于是当β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r=0时．对任意数α都有 β=k₁α₁+ k₂α₁+…+k_rα_r+α(L₁α₁+L₂α₂+…+L_rα_r)=0矛盾． 因此，当任意一个β∈T 都可以惟一地表为S中向量的线性组合时S必为线性无关组．