设A是n阶方阵，已知线性方程组Ax=0有非零解，求证：对任意的自然数k，线性方程组Akx=0也有非零解．

设A是n阶方阵，已知线性方程组Ax=0有非零解，求证：对任意的自然数k，线性方程组Akx=0也有非零解．
【正确答案】：[证明]设A的秩为f，因为齐次线性方程组Ax=0有非零解，故r＜n，即A是奇异阵．因此对任意的自然数k，A^k也是奇异阵，即A^k的秩也小于n，因此方程组A^kx=0也有非零解．