求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体．

求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体．
【正确答案】：设长方体的长，宽，高分别为x，y，z，则： (2a)²=x²+y²+z² V=xyz 设L(x，y，z) =xyz+λ(x²+y²+z²-4a²) 令 {L_x=yz+2λx=0 L_y=xz+2λy=0 L_z=xy+2λz=0 L_λ=x²+y²+z²-4a²=0 得： {x=(2/√3)a y=(2/√3)a z=(2/√3)a ∴当长宽高均为(2/√3)a时体积最大，最大值为(8/9)√3a³．