用链式法则求下列复合函数的偏导数或导数，并将中间变量代入复合函数后再对自变量求导来验证所得的结果：(1)设z=x/y，x=et，

用链式法则求下列复合函数的偏导数或导数，并将中间变量代入复合函数后再对自变量求导来验证所得的结果：
(1)设z=x/y，x=e^t，y=lnt
(2)设z=x²y-xy²，x=rcosθ，y=rsinθ；
(3)设z=ulnυ，u=y/x，υ=3y-2x；
(4)设z=e^u，u=xsiny．
【正确答案】：(1) ∂z/∂x=1/y，∂z/∂y=-x/y²，dx/dt=e^t，dy/dt=1/t dz/dt=1/lnt•e^t-e^t/ln²t•1/t=e^t(tlnt-1)/tln²t (2) ∂z/∂x=2xy-y²，∂z/∂y=x²-2xy，∂x/∂r=cosθ，∂x/∂θ=-rsinθ，∂y/∂r=sinθ, ∂y/∂θ=rcosθ ∴∂z/∂r=∂z/∂x•∂x/∂r+∂z/∂y•∂y/∂r =(2rcosθ•rsinθ-r²sin²θ=0)•cosθ+(r²cos²θ-2r²cosθsinθ)sinθ =3r²sinθcosθ(cosθ-sinθ) ∂z/∂θ=∂z/∂x•∂x/∂θ+∂z/∂y•∂y/∂θ =(2r²cosθsinθ-r²sinθ)•(-rsinθ)+(r²cosθ-2r²cosθsinθ)rcosθ =-2r³sinθ•cosθ(sinθ+cosθ)+r³(sin³θ+cos³θ) (3)∂z/∂u=2ulnυ，∂z/∂υ=u²/υ，∂u/∂x=-y/x²，∂u/∂y=1/x，∂υ/∂y=3, ∂υ/∂x=-2 ∴∂z/∂x=∂z/∂u•∂u/∂x+∂z/∂υ•∂υ/∂x=-(2y²/x³)[ln(3y-2x)+x/(3y-2x)] ∂z/∂y=∂z/∂u•∂u/∂y+∂z/∂υ•∂υ/∂y=y/x²)[2ln(3y-2x)+3y/(3y-2x)] (4)dz/du=e^u，∂u/∂x=siny，∂u/∂y=xcosy ∴∂z/∂x=dz/du•∂u/∂x=e^xsinysiny ∂z/∂y=dz/du•∂u/∂y=e^xsinyxcosy