证明级数∑n=1∞(-1)n•[1/ln(n+1)]条件收敛.
【正确答案】：证明：先考虑交错级数∑n=1∞(-1)n•u∞,其中un=1/[ln(n+1)]． 由于ln(n+1)﹤ln(n+2)，故1/[ln(n+2)]﹤1/[ln(n+1)]，即μn+1﹤un,又limn→∞un=limn→∞1/[ln(n+1)]=0， 所以∑n=1∞(-1)n•{1/[ln(n+1)]}收敛.再考虑正项级数∑n=1∞∣(-1)n•{1/[ln(n+1)]}∣=∑n=1∞1/[ln(n+1)] 令f(x)．=x-ln(1+x)，在(0，+∞)上 f′(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)﹥0， 故f(x)单调增加，对一切x﹥0，f(x)﹥f(0)=0， 即x﹥ln(1+x),因此1/n﹤1/[ln(n+1)]， 而调和级数∑n=1∞1/n发散，所以正项级数∑n=1∞1/[ln(n+1)]也发散． 所以∑n=1∞(-1)n1/[ln(n+1)]条件收敛.
证明级数∑n=1∞(-1)n•[1/ln(n+1)]条件收敛.
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