设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)(a≤θ≤β)，且r′(θ)连续，证明∫L(x,y)ds=∫aβf[r(θ)cosθ，r(θ)

设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)(a≤θ≤β)，且r′(θ)连续，证明∫_L(x,y)ds=∫_a^βf[r(θ)cosθ，r(θ)sinθ]√{[r′(θ)]²+[r(θ)]²}dθ
【正确答案】：证明：令x=rcosθ，y=rsinθ，其中r=r(θ)，则dx/dθ=r′(θ)cosθ-r(θ)sinθ，dy/dθ=r′(θ)sinθ+r(θ)cosθ， ds=√[(dx/dθ)²+(dy/dθ)²]dθ=√{[r′(θ)]²+[r(θ)]²}dθ 所以∫_Lf(x，y)ds=∫_σ^βf[r(θ)cosθ,r(θ)sinθ]√{[r′(θ)]²+[r(θ)]²}dθ