设α，β是n阶方阵A的两个特征向量，证明α+β是A的特征向量的充分必要条件是α，β是A的属于同一特征值的特征向量．
2024-07-29线性代数（经管类）(04184)
设α，β是n阶方阵A的两个特征向量，证明α+β是A的特征向量的充分必要条件是α，β是A的属于同一特征值的特征向量．
【正确答案】：证明：如果α，β是A的属于同一特征值λ的特征向量，则A(α+β)=Aα+Aβ=λα+λβ=λ(α+β)，因此α+β也是A的特征向量． 反之，如果α+β是A的特征向量，即存在λ使A(α+β)=λ(α +β)=λα+λβ，又假设α，是A的属于λ1，λ2的特征向量，即Aα=λ1α，Aβ=λ2β，则A(α+β)=Aα+Aβ=λ1α+λ2β，因此有λ1α+λ2β=λα+λβ 即(λ-λ)α+(λ-λ)β=0 当λ1≠λ2时，α与β线性无关，则λ1-λ=λ2-λ=0出现矛盾，所以一定有λ1=λ2．
【正确答案】：证明：如果α，β是A的属于同一特征值λ的特征向量，则A(α+β)=Aα+Aβ=λα+λβ=λ(α+β)，因此α+β也是A的特征向量． 反之，如果α+β是A的特征向量，即存在λ使A(α+β)=λ(α +β)=λα+λβ，又假设α，是A的属于λ1，λ2的特征向量，即Aα=λ1α，Aβ=λ2β，则A(α+β)=Aα+Aβ=λ1α+λ2β，因此有λ1α+λ2β=λα+λβ 即(λ-λ)α+(λ-λ)β=0 当λ1≠λ2时，α与β线性无关，则λ1-λ=λ2-λ=0出现矛盾，所以一定有λ1=λ2．
