证明行列式|x-100||0X-10||00X-1||a4a3a2x+a1|=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4

证明行列式
|x-100|
|0X-10|
|00X-1|
|a4a3a2x+a1|
=x⁴+a1x³+a2x²+a3x+a4
【正确答案】：证明：将第4列乘x加于第3列，再将得到的第3列乘x加于第2列，再将得到的第2列乘x加于第1列，最后得 |0 -1 0 0| |0 0 1 0| |0 0 0 -1| |A B C D| 其中： A=x⁴+a1³+a2²+a3x+a4; B=x³+a1x²+a2x+a3; C=x²+a1x+a2; D=x+a1 再按第1列展开，得 x⁴+a1x³+a2x²+a3x+a4
【名师解析】:首先，通过行列式的性质，我们可以将第4列乘以x加到第3列，得到新的第3列。这个过程不会改变行列式的值。接着，将得到的新的第3列乘以x加到第2列，再将得到的新的第2列乘以x加到第1列，同样，这些操作也不会改变行列式的值。 这样，行列式变为： |0 -1 0 0| |0 0 1 0| |0 0 0 -1| |A B C D| 其中，A、B、C、D分别代表： A = x^4 + a1x^3 + a2x^2 + a3x + a4 B = x^3 + a1x^2 + a2x + a3 C = x^2 + a1x + a2 D = x + a1 接下来，按照第1列展开这个行列式。展开后，行列式的值等于第1列元素与其代数余子式的乘积之和。由于第1列除了第一个元素外，其他元素都是0，因此行列式的值只与第一个元素和其代数余子式有关。 代数余子式是行列式去掉第1行和第1列后剩下的3x3行列式的值，并且带有交替的符号。在这个情况下，代数余子式是： |0 0 1| |0 0 0| |A B C| 这个3x3行列式的值为0，因为第二行和第三行都是全0。因此，按照第1列展开的行列式值为： x * |0 0 1| |0 0 0| |A B C| 这个行列式的值就是A，即x^4 + a1x^3 + a2x^2 + a3x + a4。 因此，原行列式的值等于x^4 + a1x^3 + a2x^2 + a3x + a4，证明了题目中的等式。