设ƒ(x)在[a，6]上连续，证明：至少存在一点ξ∈[a，b]，使得ƒ(ξ)=[ƒa)+ƒ
2024-09-16高等数学（二）(z0002)
设ƒ(x)在[a，6]上连续，证明：至少存在一点ξ∈[a，b]，使得ƒ(ξ)=[ƒa)+ƒ(b)]/2．
【正确答案】：证明： (方法一)(1)当ƒ (a)≠ƒ (b)时，不妨设ƒ (a)﹤ƒ (b)，则ƒ (a)﹤[ƒ (a)+ ƒ (b)]/2﹤ƒ (b)，又ƒ (x)在[a，b]上连续，满足介值定理的条件，故至少存在一点ξ∈(a，b)，使得ƒ(ξ)=[ ƒ (a)+ ƒ (b)]/2． (2)当ƒ (a)= ƒ (b)时,[ ƒ (a)+ ƒ (b)]/2=ƒ (a)= ƒ (b)，则可取ξ=a或b． 综合(1)(2)得，至少存在一点ξ∈[a，6]，使得(ξ)=[(a)+(b)]/2． (方法二)因为(x)在[a，b]上连续，所以必取得最大值M和最小值m． (1)当ƒ (a)= ƒ (b)=M时，[ƒ (a)+ ƒ (b)]/2=M，则可取ξ=a或b，使得ƒ (ξ)=[ ƒ (a)+ ƒ (b)]/2． (2)当ƒ (a)= ƒ (b)=m时，[ƒ (a)+ ƒ (b)]/2=m，则可取ξ=a或b，使得ƒ (ξ)=[ ƒ (a)+ ƒ (b)]/2． (3)除(1)(2)外，m﹤[ƒ (a)+ ƒ (b)]/2﹤M，由介值定理的推论知，至少存在一点ξ∈(a，b)， 使得ƒ (ξ)=[ ƒ (a)+ ƒ (b)]/2．综合(1)(2)(3)得，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得ƒ (ξ)=[ ƒ (a)+ ƒ (b)]/2．
【正确答案】：证明： (方法一)(1)当ƒ (a)≠ƒ (b)时，不妨设ƒ (a)﹤ƒ (b)，则ƒ (a)﹤[ƒ (a)+ ƒ (b)]/2﹤ƒ (b)，又ƒ (x)在[a，b]上连续，满足介值定理的条件，故至少存在一点ξ∈(a，b)，使得ƒ(ξ)=[ ƒ (a)+ ƒ (b)]/2． (2)当ƒ (a)= ƒ (b)时,[ ƒ (a)+ ƒ (b)]/2=ƒ (a)= ƒ (b)，则可取ξ=a或b． 综合(1)(2)得，至少存在一点ξ∈[a，6]，使得(ξ)=[(a)+(b)]/2． (方法二)因为(x)在[a，b]上连续，所以必取得最大值M和最小值m． (1)当ƒ (a)= ƒ (b)=M时，[ƒ (a)+ ƒ (b)]/2=M，则可取ξ=a或b，使得ƒ (ξ)=[ ƒ (a)+ ƒ (b)]/2． (2)当ƒ (a)= ƒ (b)=m时，[ƒ (a)+ ƒ (b)]/2=m，则可取ξ=a或b，使得ƒ (ξ)=[ ƒ (a)+ ƒ (b)]/2． (3)除(1)(2)外，m﹤[ƒ (a)+ ƒ (b)]/2﹤M，由介值定理的推论知，至少存在一点ξ∈(a，b)， 使得ƒ (ξ)=[ ƒ (a)+ ƒ (b)]/2．综合(1)(2)(3)得，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得ƒ (ξ)=[ ƒ (a)+ ƒ (b)]/2．
