【成人高考】【数学（理工）（高升专）】【c0002l】高频考点(5)

(1).在ΔABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，则C=_____．

120°。解析：α：b：c=sinA：sinB：sinC=7：8：13，令α=7k，b=8k，c=13k，cosC=(α²+b²-c²)/2αb=-(1/2)，所以C=120°．

(2).在ΔABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则α=_____．

√6-√2。解析：A=15°,α/sinA=b/sinB，α=bsinA/sinB=4sinA=4sin15°=一4×[(√6-√2)/4]=√6一√2

(3).长17米的梯子，靠在斜壁上，梯脚与壁基相距7米，梯顶在沿壁向上15米的地方，求壁面和地面所成的角a．

a≈91°．

(4).在锐角ΔABC中，求证：tanA•tanB•tanC>1．

证明：因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>π/2，即π/2>A>π/2一B>0， 所以sinA>sin(π/2一B)，即sinA>cosB；同理sinB>cosc；sinc>cosA， 所以sinAsinBSinC>cosAcosBcosC，sinAsinBsinC/cosAcosBcosC>1， 所以tanA•tanB•tanC＞1

(5).在ΔABC中，A=120°，c>b，α=√21，S^ΔABC=√3，求b，c．

S_ΔABC=1/2bcsinA=√3，bc=4， α²=b²+c²—2bccosA，b+c=5，而c>b，所以b=1，c=4．

(6).在ΔABC中，∠C是钝角，设x=sinC，y=sinA+sinB，z=cosA+cosB，则x，Y，z的大小关系是_____．

x＜y＜z。解析：A+B<(π/2)，A<(π/2)一B，sinA

(7).在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，(1)求证：AC∥平面A₁B₁C₁D₁；(2)求AC与平面BB₁D₁D所成的角．

(1)连接A₁C₁，由AA₁平行于又等于CC₁得四边形ACC₁A₁是平行四边形．所以AC//A₁C₁，又A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁,AC⊄平面A₁B₁C₁D₁，所以AC//平面A₁B₁C₁D₁；(2)因为AC⊥DB，AC⊥B₁B，则AC⊥平面BB₁D₁D，所以AC与平面BB₁D₁D成90°角．

(8).向量a=3i+2j-k与b=i-j+2k，则a与b的数量积=____；a•i=____；a•j=____；a•k=____；5a与3b的数量积=____．

-1；3；2；-1；-15．

(9).已知A=(3，5，-1)，b=(2，2，3)，c=(4，-1，-3)，则2a=____；a+b-c=____，2a-3b+4c=____，ma+nb=____．

(6，10，-2)；(1，8，5)；(16，0，-23)；(3m+2n，5m+2n，-m+3n)

(10).长方体的对角线长为l，则这个长方体的最大表面积为____．

2l²

(11).直二面角α—ι一β的棱Z上有一点A，在平面α，β内各有一条射线AB，AC都与ι成45°，AB⊂α，AC⊂β，则∠BAC=______．

60°或120°。解析：不妨固定AB，则AC有两种可能．

(12).两向量2i-j+k和4i+9j+k的位置关系是____．

垂直．

(13).正四棱锥O-ABCD的侧棱长与底面边长相等，E是OA中点，则直线BE与OC所成角的余弦是____．

√3/3

(14).直线ι与平面α所成角为30°，ι∩α=A，m⊂a，A∉m，则ι与Z所成角的取值范围是

[-30°，90°]。解析：直线Z与平面α所成的30°的角为m与ι所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到ι⊥m，即m与ι所成角的的最大值为90°．

(15).一向量的终点在B(2，-1，7)，它在坐标轴上的投影顺次是4，-4，7，则这个向量的起点A的坐标是____．

(-2，3，0)．

(16).已知α，b是两条异面直线，c//α，那么c与b的位置关系_____．

异面或相交。解析：两直线不可能平行．

(17).已知向量a=ai+5j-k和向量b=3i+j+yk共线，则a=____，y=____．

15；-(1/5)．

(18).下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行，其中正确的个数有_____．

2。解析：对于(1)是错的，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；(2)是对的；(3)是错的，也可能是异面直线；(4)是对的．

(19).已知直线y=α交抛物线y=x²于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得／ACB为直角，则a的取值范围为_____．

α≥1

(20).到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是____．

y=±x．

(21).已知抛物线y²8x的准线过双曲线x²/α²一y²/b²=1(α>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_____．

x²一y²/3=1。解析：抛物线y²=8x的准线方程x=-2,则双曲线的一个焦点为(-2,0)，即c=2，离心率e=c/α=2．α=1，由α²+b²=c²得b²=3，所以双曲线的方程为x²一y²/3=1．

(22).a在整个实数范围内变化，求两直线y-ax-2(a+1)-0与ay+x+2(a-1)=0的交点的轨迹方程．

将两直线方程变形为 a=(y-2)/(x+2), a=(-x+2)/(y+2) 消去a，得y²-4=-(x²-4) 所以 x²+y²=8(x≠-2，y≠-2) 所以，所求轨迹是一个在点(-2，-2)处间断的圆．

(23).圆x²+y²-2axsina-2bycosa-a²•cos²a=0(a>0，b>0)在x轴上截得的弦长是____.

2a．

(24).已知椭圆C：x²/α²+y²/b²(α>b>0)的离心率为√3/2，过坐标原点O且斜率为1/2的直线z与C相交于A、B，|AB|=2√10．
(1)求α、b的值；
(2)若动圆(x一m)²+y²=1与椭圆C和直线ι都没有公共点，试求m的取值范围．

(1)依题意，ι：y=x/2，不妨设A(2t，t)、B(一2t，一t)(t＞0)， 由|AB|=2√10得20t²=40，t=√2，所以{8/α²+2/b²=1 {c/α=√α²-b²/α=√3/2 解得α=4 ，b=2 (2)由{x²/16+y²/4=1 消去y得3x²—8mx+4m²+12=0，若要动圆与椭圆没有公共 {(x-m)²+y²=1, 点，则当且仅当Δ=(-8m)²-4×3×(4m²+12)=16m²-144＜0或者|m|＜3 或|m|>5。动圆(x一m)²+y²=1与直线y=x/2没有公共点，当且仅当|m|/√5>1，即|m|＞√5． 解{|m|<3或者{|m|＞5, 得m的取值范围为{m|√5＜m＜3或m＞5或一3＜m<一√5或m＜-5} {|m|＞√5 {|m|＞√5

(25).圆的方程(x-a)²+(y-b)²=r²中的a、b、r满足什么条件时，可使此圆：
(1)过原点；(2)圆心在x轴上；(3)圆心在y轴上；(4)与x轴相切；(5)与y轴相切；(6)与两坐标轴相切．

(1)a²+b² =r²；(2)b=0； (3)a=0；(4)b=±r； (5)a=±r； (6)∣ a∣=∣b∣=r．

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