【成人高考】【高等数学（二）】【z0002】高频考点(7)

(1).计算定积分：
∫^e-1₀ln(x+1)dx

∫^e-1₀ln(x+1)dx=[xln(x+1)]^e-1₀-∫^e-1₀[x/(x+1)]dx=e-1-∫^e-1₀[(x+1)-1/(x+1)]dx =e-1-∫^e-1₀[1-1/(x+1)]dx=e-1-[x-ln(x+1)]^e-1₀=1．

(2).计算定积分：∫¹₀[(x-1)/(x+1)]dx

∫¹₀[(x-1)/(x+1)]dx=∫¹₀{[(x+1)-2]/(x+1)}dx=∫¹₀[1-2/(x+1)]dx=[x-2ln(x+1)]¹₀=1-2ln2．

(3).∫²₀|1-x²|dx=_____．

∫²₀|1-x²)dx=∫¹₀(1-x²)dx+∫²₁(x²-1)dx=[x-(1/3)x³]¹₀+[(1/3x)³-x]²₁=2．

(4).计算定积分：
∫^π/2₀sin²xcosxdx

∫^π/2₀sin²xcosxdx=∫^π/2₀sin²xd(sinx)=(1/3)sin³x|^π/2₀=1/3 ．

(5).dx/(α²+x²)(_____)(α≠0)．

(1/α)arctan(x/α)+c．

(6).求函数的导数：
y=x²(e^x+sinx)

y'=x[2(e^x+sinx)+x(e^x+cosx)]

(7).设函数z=z(x)由方程x²+z²=xz所确定，求dz/dx．

由2x+2zz_x'=z+xz_x'，得dz/dc=z_x'=(2x-z)/(x-2z)．

(8).求函数的导数：
y=arccos√1-x²

y'=1/[√1-(1-x²)]•-x/(√1-x²)=x/|x|√1-x²

(9).求函数的导数：
y=arctan(1/x)

y'=[1/(1+1/x²)][-(1/x²)]=1/(1+x²)．

(10).求方程所确定的隐函数的导数：
sin(x²+y)=xy

由cos(x²+y)(2x+y')=y+xy'，得y'=[-y+2xcos(x²+y)]/[x-cos(x²+y)]

(11).求函数的导数：
y=√1+x²ln(cosx)+e²

y'=(x/√1+x²)-tanx.

(12).设函数f(x)在x₀处可导，则f(x)在x₀取得极值的_____条件是f'(x₀)=_____.

必要，0．

(13).求下列函数的二阶导数．
(1)y=1/x(1-x)
(2)y=xlnx
(3)y=(4+x²)arctan(x/2)
(4)y=ln(2-x)/(2+x)

(1)y=1/[x(1-x)]=[(1-x)+x]/[x(1-x)]=1/x+1/(1-x)， y'=-(1/x²)+1/(1-x)²,y''=2/x³+2/(1-x)³=[2(1-3x)+3x²)]/[x³(1-x)³] (2)y'=1+lnx，y''=1/x (3)y'=2xarctan(x/2)+2，y''=2[arctan(x/2)+2x/(4+x²)] (4)由y=ln(2-x)-ln(2+x)，(-2＜x＜2)，y'=1/(x-2)-1/(x+2)，y''=-[1/(x-2²)]+1/(x+2)²

(14).求下列函数的一阶微分：
(1)y=π^e+e^x+x^π
(2)y=π^ee^xx^π
(3)y=√x(1+cos²x)
(4)x³+y³-3axy=0(α>0，是常数)

(1)dy=(e^x+πx^π-11)dx． (2)dy=π^ee^xx^π-1(x+π)dx． (3)dy=[1/2√x(1+cos²x)-√xsin2x]dx． (4)dy=[(αy-x²)/(y²-αx)dx．

(15).曲线y=x^1/x在点(1，1)处的切线方程是____，法线方程是_____．

lny=(1/x)lnx，(1/y)y'=1/x²(1-lnx)，y'=x^1/x(-2)(1-lnx)．y'|_x=1=1，切线方程y-1=x-1，即x-y=0；法线方程y-1=-(x-1)，即x+y-2=0．

(16).求下列函数的导数y=tan2x；

y′=sec²2x•(2x)′=2sec²2x

(17).设函数z=z(x)由方程xz=e^z所确定，求dz/dx．

由z+xz_x'=e^zz_x'，得dz/dx=z_x'=z/e(^z-x)．

(18).求函数的导数：
y=(1+e^x)/(1-e^x)

y'=[e^x(1-e^x)+e^x(1+e^x)]/(1-e^x)²=2e^x/(1-e^x)²．

(19).求方程所确定的隐函数的导数：
x/y=ln(xy)

由(y-xy')/y²=1/xy(y+xy')，得y'=[y(x-y)]/[x(x+y)]

(20).设函数f(x)=xe^x，求f''(υ)．

f'(x)=(x+1)e^x，f(x)=(x+2)e^x，f''(0)=2．

(21).函数f(x)=lnx/x的定义域是_____，极大值点是x=_____．

f(x)=lnx/x的定义域是(0，+∞)．f'(x)=(1-lnx)/x²，令f'(x)=0，得驻点x=e．f''(x)=21nx-3/x³，令f''(e)=-e^-3＜0，，故x=e是极大值点．

(22).已知由方程x²+y²=e^y确定函数y=y(x)，则dy/dx=_____．

2x+2y(dy/dx)=e^y(dy/dx)，dy/dx=2x/(e^y-2y)．

(23).求下列函数的导数y=e^2x2+x2；

y′=e^2x2+x(2x²+x)′=e^2x2+x(4x+1)

(24).求下列函数的导数y=arcsin(4x+1)．

y′=1/√[1-(4x+1)²]•(4X+1)′=4/√[1-(4X+1)]²

(25).求下列函数的导数y=In(1+x²)；

y′=1/(1+x)²•(1+x²)′=2x/(1+x)²

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