【成人自考】【高等数学（工本）】【00023】高频考点(12)

(1).验证y1=cosωx及y2=sinωx都是微分方程y′′+ω²y=0的解，并写出该方程的通解．

∵y₁，y₂线性无关，且都是y′′+ω²y=0的解， ∴y=C₁cosωx+C₂sinωx

(2).极限lim_x→0∫₀^xcost²dt=_____．

1。 解析：lim_x→0∫₀^xcost²dt/x=lim_x→0cosx²=1

(3).已知可导函数f(x)满足f(x)=1+∫₀^xtf(t)dt，求函数f(x)．

由f(x)=1+∫₀^xtf(t)dt，两边同时求导得： f′(x)=xf(x),即df(x)/dx=xf(x) ∴df(x)/f(x)=xdx ∴∫df(x)/f(x)=∫xdx ∴lnf(x)=x²/2+C₁ ∴e^lnf(x)=e^x2/2+C₁=e^C₁•e^x2/2 ∴f(x)=C•e^x2/2．(C=e^C₁)．

(4).求下列线性非齐次微分方程的通解：
(1)2y′′+y′-y=2e^x；
(2)2y′′+5y′=5x²-2x-1；
(3)y′′+5y′+4y=3-2x；
(4)y′′+3y′+2y=3xe^-x；
(5)y′′-6y′+9y=(x+1)e^3x．

(1)齐次方程2y′′+y′-y=0的特征方程为2r²+r-1=0 得r₁=-1，r₂=1/2 故齐次方程的通解为y=C₁e^-x+C₂e^x/2 f(x)=2e^x为非齐次项，λ=1不是齐次方程的特征根 应设特解为y^*=Ae^x代入原方程得A=1 ∴原方程通解为y=e^x+(C₁e^x/2+C₂e^-x) (2)齐次方程特征方程为2r²+5r=0 r₁=0，r₂=-(5/2) 则齐次方程通解为y=C₁+C₂ 非齐次项f(x)=5x²-2x-1，λ=0是齐次方程的特征根，且为单根 应设特解y^*=x(Ax²+Bx+C)代入原方程， 得A=1/3，B=-(3/5)，C=7/25 则原方程通解为y=x[(1/3)x²-(3/5)x+(7/25)]+(C₁+C₂e^-(5/2)x) (3)齐次特征方程为r²+5r+4=0，r₁=-1，r₂=-4 则齐次通解为y=C₁e^-x+C₂e^-4x 非齐次项f(x)=3-2x，且λ=0不是齐次方程的特征根 应设特解y^*=Ax+B代入原方程得A=-(1/2)，B=11/8 则原方程通解为y=[11/8-(1/2)x]+(C₁e^-x+C₂e^-4x) (4)齐次特征方程为r²+3r+2=0，r₁=-2，r₂=-1 则齐次通解为y=C₁e^-x+C₂e^-2x 非齐次项f(x)=3xe^-x，λ=-1是齐次方程特征根，且为单根 则应设特解y^*=x(Ax+B)e^-x代入原方程得A=3/2，B=-3 则原方程通解为y=[(3/2)x²-3x)e^-x+C₁e^-x+C_{2e^-2x (5)齐次特征方程为r2-6r+9=0，则r1,2=3 非齐次项f(x)=(x+1)e^3x，λ=3为特征方程的二重根 应设特解为y=x²(A+B)e^3x 代入原方程得A=1/6，B=1/2 则原方程通解为y=[x²((1/6)x+(1/2))+C1x+C2]e^3x}

(5).若曲线y=f(x)在点(x，y)处的切线斜率为e^x+1且曲线过(0，2)点，则曲线方程是____．

y=e^x+x+1。解析：dy/dx=e^x+1，dy=(e^x+1)dx，不定积分得y=e^x+x+C，以x=0，y=2代入得C=1，所以y=e^x+x+1．

(6).设f(x)在[-α，α]上连续，则∫_-α^αsin⁸xdx=______．

0。 解析： 由于积分区间为对称区间，被积函数又是奇函数，故定积分值为0．

(7).设y=e^x(C₁sinx+C₂cosx)(C₁、C₂为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____．

y′′-2y′+2y=0。 解析：由通解形式y=e^x(C₁sinx+C₂cosx)知二阶常系数线性齐次方程的特征方程的特征根为 λ₁=1+i，λ₂=1-i 故特征方程为 (λ-1-i)(λ-1+i)=0 即 λ²-2λ+2=0 于是所求方程为 y′′-2y′+2y=0

(8).微分方程dy/dx=√1-y²/√1-x²是_____方程．

一阶可分离变量

(9).质点在力F=3x²+2x作用下，沿直线从x=1移到x=2，力F作功为_____．

10。 解析：F所做的功 W=∫₁²F(x)dx=(x³+x²)|₁²=10

(10).微分方程xdx+ydy=0的通解为____．

x²+y²=C. 解析: ∵xdx+ydy=0 ∴xdx=-ydy 两边通分得：∫xdx=-ydy 即：(1/2)x²=-(1/2)y²+C/2．

(11).指出下列微分方程的阶数：
(1)(x²-y²)dx+(x²+y²)dy=0；
(2)x(y′)²-2xy′+x=0；
(3)x²y′′-xy′+y=0；
(4)xy′′′+2y′′+x²y=O；
(5)ρ/θ+p=sin²θ.

由微分方程阶数定义知： (1)一阶 (2)一阶 (3)二阶 (4)三阶 (5)一阶

(12).设f(x)=sinx-∫₀^xf(t)dt，其中f(t)连续，求f(x)．

因f(x)连续，故方程右端是可导的，因此方程左端f(x)也可导，两边同时求导得 f′(x)=cosx-f(x) f′(x)+f(x)=cosx 这是一阶线性方程，解之 f(x)=e^-∫dx[∫cosxe^∫dxdx+C] =e^-x[∫cosxe^xdx+C] =e^-x[e^x(sinx+cosx)/2+C] =1/2(sinx+cosx)+Ce^-x 由原方程知f(0)=0，代入上式得C=-(1/2) 故 f(x)=1/2(sinx+cosx-e^-x)

(13).以y=(C₁+C₂x)e^x为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为____．

y′′-2y′+y=0。解析：由通解可知λ=1是特征方程的二重根，即特征方程为r²-2r+1=0，所以二次常系数线性齐次方程为Y′′-2y′+y=0．

(14).求下列微分方程的通解：
(1)Y′′+y′-2y=0；
(2)y′′-4y′=0；
(3)y′′+6y′+13y=0；
(4)y′′+y=0；
(5)4y′′-20y′+25y=0．

(1)所给微分方程的特征方程为r²+r-2=0 得r₁=1，r₂=-2 因此所求的通解为y=C₁+C₂e^-2x (2)特征方程为r²-4r=0 r₁=0，r₂=4，因此通解为y=C₁+C₂e_4x (3)特征方程为r²+6r+13=0 存对一对共轭复根r_1,22=-3±2i 因此所求通解为y=e^-3x(C₁cos2x+C₂sin2x) (4)特征方程为r²+1=0 存在复根r_1,2=±i，则通解为y=C₁cosx+C₂sinx (5)特征方程为4r²-20r+25=0 得存在一个二重根r=5/2 则通解为y=(C₁+C₂x)e_(5/2)x

(15).广义积分∫_e^+∞(1/xlnx)dx=______．

+∞或发散。 解析：∫_e^+∞(1/xlnx)dx=∫_e^+∞(1/lnx)dlnx=In(lnx)|_e^+∞=+∞

(16).微分方程y′′=cosx的通解为____．

y=-cosx+C₁+C²。解析：y′=∫cosxdx=sinx+C₁，y=∫(sinX+C₁)dx=-cosx+C₁x+C₁

(17).判别下列函数组在定义区间上的线性相关性：
(1)x，sinx；
(2)xe^x，e^x；
(3)1-cos2x，sin²x；
(4)e^x，e^2x；
(5)e^xsinx，e^xcosx．

(1)∵(sinx)/x不为常数,∴sinx与x线性无关； (2)∵e/xe^x不为常数,∴e^x与xe^x线性无关； (3)∵(1-cos2x)/sin²x=2,∴1-cos2x与sin²x线性相关； (4)∵e^x/e^2x不为常数，∴e^x与e^2x性无关； (5)∵e^xsinx/e^xcosx不为常数,∴e^xsinx与e^xcosx线性无关．

(18).求yy′′=2[(y′)²-y′]，y∣_x=0=1，y′∣_x=0=2的解．

令P=y′，则y′′=dp/dy dy/dx=P(dP/dy)，于是原方程为 yP(dP/dy)=2(P²-P)，即yP(dP/dy)=2P(P-1)． 由y′∣_x=0=2时P≠0，故两dP/(P-1)=(2/y)dy， 积分得ln(P-1)=2lny+lnC₁，由条件得ln(2-1)= lnC₁,C₁=1． 于是P=y²+1，即dy/dx=y²+1，dy/(y²+1)=dx，arctany=x+C₂ 再由y∣_x=0=1，得C₂=π/4， 由此得所求解为arctany=x+π/4．

(19).求微分方程y(d²y/dx²-(dy/dx)³=0的通解．

令y′=p(y)，则y′′=dp/dx=dp/dy•(dy/dx)=p(dp/dy)，代入原方程得 yp(dp/dy)-p²=0，p[y(dp/dy-p)=0，即p=0或y(dp/dy)=p．对于p=0， 得y=C(常数)； 对于y(dp/dy)=p，分离变量得∫dp/p=∫dy/y，lnp=lnC₁= y,因此dy/dx= C₁y，∫C₁dx,lnx=C₁x+C₂′,所以通解为y=e^C′₂ •e^C₁x= C₂e^C₁x(C₂=e^C′₂) (注意，y=C被包含在y=C₂e^C₁x中)

(20).曲线y=x²与x=y²所围平面图形绕x轴旋转而得的旋转体的体积为____．

3π/10。 解析：V=∫₀¹π(x-x⁴)dx=3π/10

(21).求微分方程dy/dx+2y=e^x的通解．

∵P(x)=2 Q(x)=e^x ∴y=e^-∫P(x)dx[∫Q(x)dxe^∫P(x)dxdx+C]=e^-∫2dx[∫e^xe^∫2dxdx+C] =e^-2x[∫e^3xdx+C]=e^-2x[(1/3)e^3x+C]． 故原方程通解为 y=(1/3)e^x+Ce^-2x．

(22).求一曲线方程，该曲线过(0，1)点且曲线上任意一点处的切线垂直于此点与原点的连线．

曲线y=f(x)在(x，y)处的切线斜率为dy/dx，而(x，y)与(0，0)点的连线斜率为y/x，因此 dy/dx=-(x/y) 分离变量，∫ydy=-∫xdx得(1/2)y²=-(1/2)x²+C′即通解为x²+y²= C(C=2C′)，再以x=0，y=1代入得C=1，所以曲线方程为x²+y²=1．

(23).微分方程y′′+2y′+5y=0的通解为_____．

y=e^-x(C₁cos2x+C₂sin2x)。 解析：方程y′′+2y′+5y=0是二阶常系数线性微分方程，其特征方程为 r²+2r+5=0 其特征根为 r₁=-1+2i，r₂=-1-2i 故所求通解为 y=e^-x (C₁cos2x+C₂ sin2x)

(24).设y₁=xe^x+e^2x，y₂=xe^x+e^-x是二阶线性微分方程
y′′+py′+qy=f(x)(p，q是常数)的两个特解，则p，q及f(x)分别为____.

p=1，q=-2，f(x)=-2xe^x+e^x. 解析: y₁-y₂=e^2x-e^-x是所给微分方程 y′′+py′+qy=0 ①的特解，将它代入①得 (4e^2x-e^-x)+p(2e^2x+e^-x)+q(e^2x-e^-x)=0． 由此得{2p+q=-4, p-q=1, 即p=-1，q=-2．于是所给方程为 y′′-y′-2y=f(x). 将y¹=xe^x+e^2x代入②，得 f(x)=(xe^x+2e^x+4e^2x)-(xe^x+e^x +2e^2x)-2(xe^x+e^2x)= -2xe^x+e^x． 因此，p=-1，q=-2，f(x)=-2xe^x+e^x．

(25).微分方程dy/dx-3x=1的通解为____.

y=(3/2)x²+x+C . 解析: 该微分方程属于一次线性微分方程dy/dx=1+3x， ∵P(x)=0，Q(x)=1+3z ∴ y=e^-∫P(x)dx[∫ Q(x)e^∫P(x)dxdx+C]=∫(1+3x)dx+C =(3/2)x²+x+C

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