∫∫∫Ωzdυ，其中Ω是球面x2+y2+z2=4与抛物面z=(1/3)(x2+y2)所围区域．
2024-08-03高等数学（工本）(00023)
∫∫∫Ωzdυ，其中Ω是球面x2+y2+z2=4与抛物面z=(1/3)
(x2+y2)所围区域．
【正确答案】：令{x2+y2+z2=4 3z=x2+y2 得z2+3z-4=0， 即(z-1)(z+4)=0，而z+4≠0，故z=1，所以积分区域在Oxy平面上的投影区域为 D={(x，y)∣x2+y2≤3}={(r，θ)∣0≤θ≤2π，0≤r≤√3} 因此积分区域的极坐标表示为 Ω={(r，θ,z)∣0≤θ≤2π,0≤r≤√3，(1/3)r2≤z≤√4-r2} 所以∫∫∫Ωzdυ=∫02πdθ∫0√3 dr∫(1/3)r2√4-r2zrdz=2π∫0√3r• [(1/2)z2]∣(1/3)r2√4-r2•dr =π∫0√3r[4-r2-(1/9)r4]dr =π[2r2∣0√3-(1/4)r4∣0√3-(1/54) r6∣0√3] =(13/4)π
(x2+y2)所围区域．
【正确答案】：令{x2+y2+z2=4 3z=x2+y2 得z2+3z-4=0， 即(z-1)(z+4)=0，而z+4≠0，故z=1，所以积分区域在Oxy平面上的投影区域为 D={(x，y)∣x2+y2≤3}={(r，θ)∣0≤θ≤2π，0≤r≤√3} 因此积分区域的极坐标表示为 Ω={(r，θ,z)∣0≤θ≤2π,0≤r≤√3，(1/3)r2≤z≤√4-r2} 所以∫∫∫Ωzdυ=∫02πdθ∫0√3 dr∫(1/3)r2√4-r2zrdz=2π∫0√3r• [(1/2)z2]∣(1/3)r2√4-r2•dr =π∫0√3r[4-r2-(1/9)r4]dr =π[2r2∣0√3-(1/4)r4∣0√3-(1/54) r6∣0√3] =(13/4)π
