设D= (AC CTB) 正定，A，B分别为m，n阶实对称矩阵，C为m×n阶实矩阵． (1)计算PTDP，其中P= (Em-A-

设D=
(AC
C^TB)
正定，A，B分别为m，n阶实对称矩阵，C为m×n阶实矩阵．
(1)计算P^TDP，其中P=
(E_m-A^-1C
OE_m)
(2)利用(1)判断B-C^TA^-1C是否为正定矩阵．
【正确答案】：(1)P^TDP= (E_m O -C^TA^-1 E_m) (A C C^T B) (E_m -A^-1C O E_m) (A 0 O B-C^TA^-1C) (2)(B-C^TA^-1C)^T=B-C^T(A^-1)^TC=B-C^TA^-1C，所以B-C^TA^-1C为对称矩阵，由于 P可逆，D正定，所以P^TDP也正定，对于任意Y≠0，有 (O，Y^T) (A O (O B-C^TA^-1C) (O Y) =Y^T(B-C^T)A^-1C)Y＞0，所以B-C^TA^-1C正定．