试用常数变易法求微分方程xy′-y=1+x3的通解．
2024-08-23高等数学（工专）(00022)
试用常数变易法求微分方程xy′-y=1+x3的通解．
【正确答案】：原方程变形后为y′-(1/x)y=1/x+x2这是一个一阶线性非齐 次微分方程，先求对应齐次部分的通解 dy/dx-y/x=0，dy/y=dx 因此∫dy/y=∫dx/x，lny=lnx+lnc=lnCx 所以齐次部分的通解为Y=Cx；再求非齐次邳分的解 设y=xC(x)是非齐次部分的解，则 y′=[xC(x)]′=C(x)+xC′(x) 代入原方程得 C(x)+xC′(x)-1/x•xC(x)=1/x+x2 即C′(x)=1/x2+x 因此C(x)=∫(1/x2+x)dx=(1/2)x2-1/x+C 所以原方程的通解为 y=x[(1/2)x2-1/x+C]=(1/2)x3-1+Cx．
【正确答案】：原方程变形后为y′-(1/x)y=1/x+x2这是一个一阶线性非齐 次微分方程，先求对应齐次部分的通解 dy/dx-y/x=0，dy/y=dx 因此∫dy/y=∫dx/x，lny=lnx+lnc=lnCx 所以齐次部分的通解为Y=Cx；再求非齐次邳分的解 设y=xC(x)是非齐次部分的解，则 y′=[xC(x)]′=C(x)+xC′(x) 代入原方程得 C(x)+xC′(x)-1/x•xC(x)=1/x+x2 即C′(x)=1/x2+x 因此C(x)=∫(1/x2+x)dx=(1/2)x2-1/x+C 所以原方程的通解为 y=x[(1/2)x2-1/x+C]=(1/2)x3-1+Cx．
