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数学（理工）（高升专）(c0002l) > 正文内容
(1)已知数列{αn}的前n项和Sb=3n2-2n，求证数列{αn}成等差数列．(2)已知1/α，1/b，1/c成等差数列，求证
2024-09-16数学（理工）（高升专）(c0002l)
(1)已知数列{αn}的前n项和Sb=3n2-2n，求证数列{αn}成等差数列．(2)已知1/α，1/b，1/c成等差数列，求证字(b+c)/α，(c+α)/b，(a+b)/c也成等差数列．
【正确答案】：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数。证明：(1)n=1时，α1=S1=3—2=1，当n≥2时，αn=Sn一Sn-1=3n2-2n-[-3(n-1)2-2(n-1)]=6n—5，n=1时，亦满足，所以αn=6n-5(n∈N*)．首项α1=1，αn-αn-1=6n-5-[6(n-1)一5]=6(常数)(n∈N*)，所以数列{αn}成等差数列且α1=1，公差为6。(2)因为1/α，1/b，1/c成等差数列，所以2/b=1/α+1/c化简得2αc=b(α+c)．(b+c)/2+(α+b)/c=(bc+c2+α2+αb)/αc=[b(α+c)+α2+c2]/αc=(a+c)2/αc=(α+c)2/[b(α+c)/2]=2•(α+c)/b，所以(b+c)/α，(c+a)/b，(a+b)/c也成等差数列．
【正确答案】：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数。证明：(1)n=1时，α1=S1=3—2=1，当n≥2时，αn=Sn一Sn-1=3n2-2n-[-3(n-1)2-2(n-1)]=6n—5，n=1时，亦满足，所以αn=6n-5(n∈N*)．首项α1=1，αn-αn-1=6n-5-[6(n-1)一5]=6(常数)(n∈N*)，所以数列{αn}成等差数列且α1=1，公差为6。(2)因为1/α，1/b，1/c成等差数列，所以2/b=1/α+1/c化简得2αc=b(α+c)．(b+c)/2+(α+b)/c=(bc+c2+α2+αb)/αc=[b(α+c)+α2+c2]/αc=(a+c)2/αc=(α+c)2/[b(α+c)/2]=2•(α+c)/b，所以(b+c)/α，(c+a)/b，(a+b)/c也成等差数列．
