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求函数f(x)=x3/(x2-1)的单调区间、凹凸区间、极值及拐点．
2024-09-13高等数学（经管类）(13125)
求函数f(x)=x3/(x2-1)的单调区间、凹凸区间、极值及拐点．
【正确答案】：函数f(x)=x3/(x2-1)的定义域为(-∞，-1)∪(-1，1)u(1，+∞)，而 f'(x)=x2(x2-3)/(x2-1)， f''(x)=2x(x2+3)/(x2-1)3． 令f'(x)=0，f''(x)=0得x=0，±√3．这些点及间断点将定义域分为6个部分，它们的特征如下： x (-∞，-√3) -√3 (-√3，-1) (-1,0) 0 (0,1) (1，√3) √3 (√3，+∞) f'(x) + 0 - - 0 - - 0 + f''(x) - - - + 0 - + + + f(x) 增,凸 极大值点 减,凸 减，凹 拐点(0,0) 减，凸 减,凹 极小值点 增，凹 因此，f(x)的单调增区间为(-∞，-√3)和(√3，+∞)，单调减区间为(-√3，-1)，(-1，1)和(1，√3)；凸区间为(-∞，-1)和(0，1)，凹区间为(-1，0)和(1，+∞)；极大值为f(-√3)=-(3/2)√3，极小值为f(√3)=(3/2)√3；拐点为(0，0)．
【正确答案】：函数f(x)=x3/(x2-1)的定义域为(-∞，-1)∪(-1，1)u(1，+∞)，而 f'(x)=x2(x2-3)/(x2-1)， f''(x)=2x(x2+3)/(x2-1)3． 令f'(x)=0，f''(x)=0得x=0，±√3．这些点及间断点将定义域分为6个部分，它们的特征如下： x (-∞，-√3) -√3 (-√3，-1) (-1,0) 0 (0,1) (1，√3) √3 (√3，+∞) f'(x) + 0 - - 0 - - 0 + f''(x) - - - + 0 - + + + f(x) 增,凸 极大值点 减,凸 减，凹 拐点(0,0) 减，凸 减,凹 极小值点 增，凹 因此，f(x)的单调增区间为(-∞，-√3)和(√3，+∞)，单调减区间为(-√3，-1)，(-1，1)和(1，√3)；凸区间为(-∞，-1)和(0，1)，凹区间为(-1，0)和(1，+∞)；极大值为f(-√3)=-(3/2)√3，极小值为f(√3)=(3/2)√3；拐点为(0，0)．
