设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明A+E的行列式大于1．
2024-08-15线性代数(02198)
设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明A+E的行列式大于1．
【正确答案】：证明：设λ1，λ2，…，λn为A的特征值，由于A正定，则λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0．而A+E的 特征值为λ1+1，λ2+1，…，λn+1，易知λ1+1＞1，λ2+1＞1，…，λn+1＞1，故|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．
【正确答案】：证明：设λ1，λ2，…，λn为A的特征值，由于A正定，则λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0．而A+E的 特征值为λ1+1，λ2+1，…，λn+1，易知λ1+1＞1，λ2+1＞1，…，λn+1＞1，故|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．
