设|α|=3，|β|=4，|γ|=5，且满足α+β+γ=0，计算|α×β+β×γ+γ×α|．
2024-08-03高等数学（工本）(00023)
设|α|=3，|β|=4，|γ|=5，且满足α+β+γ=0，计算|α×β+β×γ+γ×α|．
【正确答案】：由α+β+γ=0知，向量α、β、γ首尾连接构成一个三角形．又|α|=3，|β|=4，|γ|=5，故 |α|2+|β|2=|γ|2 由勾股定理知，这是一个直角三角形，且以α、β为两直角边，γ为斜边．从而α⊥β． 又 α×β+β×γ+γ×α=α×β+β×(-α-β)+(-α-β)×α =α×β-β×α-α×β-α×α-β×α =3(α×β)， 于是 |α×β+β×γ+γ×α|=3|α×β|=3|α|β|sin(α ̂，β ̂) =3•3•4•sin(π/2)=36．
【正确答案】：由α+β+γ=0知，向量α、β、γ首尾连接构成一个三角形．又|α|=3，|β|=4，|γ|=5，故 |α|2+|β|2=|γ|2 由勾股定理知，这是一个直角三角形，且以α、β为两直角边，γ为斜边．从而α⊥β． 又 α×β+β×γ+γ×α=α×β+β×(-α-β)+(-α-β)×α =α×β-β×α-α×β-α×α-β×α =3(α×β)， 于是 |α×β+β×γ+γ×α|=3|α×β|=3|α|β|sin(α ̂，β ̂) =3•3•4•sin(π/2)=36．
