【答案解析】因为f是正定二次型,A是n阶正定阵,所以A的n个特征值λ1,λ2,…,λn都大于零,|A|>0,设APj=λjPj,则A-1Pj= Pj,A-1的n个特征值,j=1,2,…,n,必都大于零,这说明A-1为正定阵,X′A-1X为正定二定型,同理,X′B-1X为正定二次型,对任意n维非零列向量X都有X′(A+B)X=X′AX+X′BX>0。 这说明X′(A+B)X为正定二次型,由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵,所以X′ABX未必为正定二次型。
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